Schnell und flexibel: Best-Fit-Algorithmen für die Koordinatenmesstechnik

Für die geometrische Qualitätsprüfung auf Basis von Punktdaten ist es notwendig, Modellkurven und -flächen in Punktwolken einzupassen. Ein Ziel ist dabei, die Summe der Quadrate der Fehlergrößen – sie entsprechen nach ISO/DIS 10360-6 den kürzesten Abständen der Punkte zur Kurve bzw. Fläche – zu minimieren. Algorithmen, die für die geometrischen Grundelemente und zahlreiche weitere Flächen konsequent kürzeste Abstände verwenden, wurden am Fraunhofer IPA entwickelt. Sie sind schnell und genau und lassen sich gut auf weitere Modellflächen erweitern.

Bei vielen Aufgaben der industriellen Bildverarbeitung und in der optischen Koordinatenmesstechnik spielt die Einpassung von Kurven und Flächen in eine gegebene Wolke von Messpunkten eine wichtige Rolle. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Güte der Einpassung einer Modellkurve/-fläche in eine Punktewolke zu definieren. Die meisten in der Praxis eingesetzten Algorithmen basieren auf der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Die ISO/DIS 10360-6 zur Genauigkeitsüberprüfung der Software für Koordinatenmessgeräte (KMG) schreibt die Fehlergröße als die kürzesten Abstände der Messpunkte zur Kurve oder Fläche vor. Der kürzeste Abstand ist nicht immer einfach zu ermitteln und wird deshalb häufig durch einen anderen Abstand ersetzt. Sung Joon Ahn entwickelte am Fraunhofer IPA kompakte und gleichzeitig flexible und effiziente Best-Fit-Algorithmen für Kurven/Flächen beliebiger Art, die dem höchsten Genauigkeitsgrad nach ISO/DIS 10360-6 entsprechen.

Die Methoden der kleinsten Fehlerquadrate zielen bei der Kurven- und Flächeneinfassung darauf ab, die Modellparameter zu ermitteln, die die Quadratsumme der Fehlerabstände vom Messpunkt zur Modelkurve/-fläche minimieren. Es liegt nahe – besonders im Bereich der Koordinatenmesstechnik – den kürzesten Abstand eines Messpunktes zur Kurve oder Fläche als Fehlergröße zu verwenden. Jedoch lässt sich der kürzeste Abstand im allgemeinen nicht durch eine Formel beschreiben. Auch die Minimierung der Quadratsumme der kürzesten Fehlerabstände ist problematisch. Sung Joon Ahns Algorithmen zur Kurven- und Flächeneinpassung berechnen die senkrechten (kürzesten) Fehlerabstände und ermitteln die Modellparameter, die die Summe der Fehlerquadrate minimieren – die Besteinfassung (Best-Fit). Analytisch läßt sich eine Kurve oder Fläche durch eine explizite, implizite oder parametrische Form beschreiben. Die am Fraunhofer IPA entwickelten Algorithmen ermitteln die Best-Fit-Parameter für implizite und/oder parametrische Kurven-/Flächendarstellungen. Explizite Kurven bzw. Flächen können mit ihnen ohne Schwierigkeiten auf eine implizite oder parametrische Darstellung überführt werden. Sie eignen sich dadurch gut, um beliebige Best-Fit-Kurven oder -Flächen zu bestimmen.

Eine Besonderheit dieser Algorithmen ist, dass die Parameter der Kurve oder Fläche in Form-, Positions-, und Rotationsparameter gruppiert und simultan ermittelt werden. Die Formparameter – beispielsweise der Halbdurchmesser von Kreis, Kugel oder Zylinder oder die Hauptachsenlängen eines Ellipsoids – beschreiben die Geometrie der im Modellkoordinatensystem definierten Kurve oder Fläche (Standard-Objektmodell). Sie sind von der Bewegung der Kurve oder Fläche unabhängig. Die Positions- und Rotationsparameter beschreiben die Bewegung der Kurve oder Fläche im Raum. »Die erste und zweite Ableitung des Standard-Objektmodells reicht aus, um mit den neu entwickelten Algorithmen ein neues Modellobjekt zu generieren. Die Positions- und Rotationsparameter werden nicht benötigt«, erklärt Sung Joon Ahn. Seine Algorithmen liefern zudem die Kovarianzmatrix der ermittelten Modellparameter, aus der sich nützliche Informationen über die Qualität der Parameterermittlung herleiten lassen, z. B. Genauigkeit, Zuverlässigkeit oder der Korrelationskoeffizient der ermittelten Parameter.

Ein komplexes Messobjekt erfasst man normalerweise durch mehrere Teilmessungen, die anschließend zu einem Gesamtobjekt zusammengefügt werden. Für diese Aufgabe sind die neuen Algorithmen besonders gut geeignet. Es müssen lediglich zusätzliche Nebenbedingungen an die Modellparameter wie Stetigkeit oder relative Lage der Teilobjekte berücksichtigt werden.

Ihre Ansprechpartner für weitere Informationen:
Fraunhofer-Institut für Produktionstechnik und Automatisierung IPA
Dr.-Ing. Wolfgang Rauh, Telefon: 0711/970-1825, Telefax: 0711/970-1004, E-Mail: wor@ipa.fhg.de
Dipl.-Ing. Sung Joon Ahn, Telefon: 0711/970-1859, Telefax: 0711/970-1004, E-Mail: sja@ipa.fhg.de